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SGCライブラリ 145

臨時別冊・数理科学2019年1月
「重点解説 岩澤理論」
〜 理論から計算まで 〜

福田 隆(日本大学准教授) 著

定価:2,500円(本体2,315円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2019-02-10
JAN 4910054700190 / B5判/216頁


<内容詳細>
日本が生んだ大数学者,岩澤健吉(1917-1998)の名を冠する数論の一大理論を,理論の全体を見渡すことを念頭に解説.

<目次>
第1章 イデアル類群と単数群
  1.1 代数的整数
  1.2 整数環
  1.3 イデアル群
  1.4 単数群
  1.5 類数と単数の関係

第2章 無限次ガロア拡大
  2.1 位相の導入
  2.2 射影極限としてのガロア群

第3章 無限次拡大の分岐理論
  3.1 有限次拡大の分岐理論
  3.2 無限次拡大の分岐理論
  3.3 フロベニウス写像と類体論

第4章 Λ加群の構造定理
  4.1 Λの定義と性質
  4.2 Λ加群
  4.3 擬同型による分類
  4.4 構造定理からの帰結

第5章 岩澤の類数公式
  5.1 Zp拡大の基本性質
  5.2 Γ加群からΛ加群へ
  5.3 最大不分岐アーベルp拡大
  5.4 類数公式の証明と特性多項式
  5.5 岩澤不変量

第6章 アーベル体の円分Zp拡大
  6.1 CM体からの準備
  6.2 イデアル類群へのガロア作用
  6.3 CM体の円分Zp拡大
  6.4 アーベル拡大におけるデルタ分解

第7章 ディリクレ指標
  7.1 ディリクレ指標の定義
  7.2 ディリクレ指標群
  7.3 ガウス和

第8章 L関数
  8.1 ゼータ関数とL関数
  8.2 解析接続
  8.3 ベルヌイ数
  8.4 L(1,χ)

第9章 p進L関数
  9.1 p進巾級数
  9.2 p進対数関数とp進指数関数
  9.3 p進L関数の特徴づけ
  9.4 p進L関数の構成
  9.5 g(T,χ0)について
  9.6 p進L関数の一意性
  9.7 Lp(1,χ)

第10章 岩澤主予想
  10.1 主予想の定式化
  10.2 証明のための準備
  10.3 巡回拡大への還元
  10.4 巡回拡大の場合
  10.5 アーベル拡大への引き戻し
  10.6 主予想の証明

第11章 グリーンバーグ予想
  11.1 グリーンバーグ予想とは
  11.2 基本的な判定法
  11.3 実二次体でp>2の場合
  11.4 実二次体でp=2の場合
  11.5 市村・隅田の判定法
  11.6 展望

第12章 岩澤マイナス不変量の計算
  12.1 アーベル体の岩澤多項式
  12.2 虚二次体のλ不変量

第13章 アーベル体のイデアル類群
  13.1 アーベル体の類数公式
  13.2 巡回部分体への還元
  13.3 巡回体の類数のp部分
  13.4 計算機への実装
  13.5 群構造の決定

第14章 ウェーバーの問題
  14.1 h(Bn)計算の歴史
  14.2 堀江の単数
  14.3 小さい素数lに対するh(Bn)の非可除性

第15章 コーツ予想
  15.1 ウェーバーの問題の拡張
  15.2 ウェーバーの問題の発展
  15.3 結び

第16章 数論ソフトPARI/GPの使い方
  16.1 インストール
  16.2 gpの使い方
  16.3 PARIのライブラリ関数を使う
  16.4 ユーザーからデヴェロッパーへ

第17章 問題解答
  17.1 イデアル類群
  17.2 無限次ガロア拡大
  17.3 無限次拡大の分岐理論
  17.4 Λ加群の構造定理
  17.5 岩澤の類数公式
  17.6 アーベル体の円分Zp拡大
  17.7 ディリクレ指標
  17.8 L関数
  17.9 p進L関数
  17.10 岩澤主予想
  17.11 グリーンバーグ予想
  17.12 岩澤マイナス不変量の計算
  17.13 アーベル体のイデアル類群
  17.14 ウェーバーの問題
  17.15 コーツ予想
  17.16 数論ソフトPARI/GPの使い方

参考文献
索引