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SGCライブラリ 52

臨時別冊・数理科学2006年12月
「理工系のための トポロジー・圏論・微分幾何」
〜 双対性の視点から 〜

谷村省吾(名古屋大学教授) 著

定価:2,037円(本体1,886円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2006-12-01
JAN 4910054701265 / B5判/216頁

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<内容詳細>
トポロジーや圏論や微分幾何学は,素人には近寄りがたい「高級な数学」では決してなく,この世界に生起する出来事を語るためのきわめて自然な言語であり,自分の言葉として活用できるようにしておくと,いろいろなことが明解に,かつ生き生きと見えてくるようなものである.本書は,そのことをわかり易く伝える,理工系一般の学部上級生,大学院生向けの平易な入門書である.

<目次>
第1章 外延と内包の双対性
  1.1 集合と写像
  1.2 集合の大小
  1.3 写像集合
  1.4 派生する集合
  1.5 外延と内包
  1.6 双対性

第2章 位相空間
  2.1 位相空間の例
  2.2 位相空間の定義
  2.3 位相の強弱と分離公理
  2.4 連続写像
  2.5 連結性
  2.6 同相と位相不変量
  2.7 次元
  2.8 図形と計量の双対性
  2.9 変換と不変式の双対性

第3章 ホモトピー
  3.1 ホモトピー理論の考え方
  3.2 群
  3.3 道とループ
  3.4 道の積
  3.5 ホモトピックという関係
  3.6 ホモトピー群
  3.7 ホモトピー群の例
  3.8 位相不変量としてのホモトピー群
  3.9 高次元ホモトピー群
  3.10 ポアンカレ予想

第4章 ホモロジー
  4.1 ホモロジー理論の考え方
  4.2 単体複体
  4.3 加群
  4.4 名前と文脈と意味
  4.5 加群と環
  4.6 自由加群
  4.7 向きのついた単体と境界作用素
  4.8 加群の準同形写像
  4.9 商加群
  4.10 準同形定理
  4.11 ホモロジー群
  4.12 ホモロジー群の例
  4.13 位相不変量としてのホモロジー群:測定とは何か
  4.14 ベッチ数とオイラー数

第5章 圏論
  5.1 圏論対集合論
  5.2 圏
  5.3 圏の例
  5.4 モノとエピ
  5.5 関手
  5.6 関手の例
  5.7 直積
  5.8 直和
  5.9 部分集合の圏における直積と直和
  5.10 テンソル積

第6章 微分幾何学
  6.1 多様体の定義
  6.2 多様体の例
  6.3 微分可能写像と微分同相
  6.4 曲線と関数,接ベクトルと余接ベクトル
  6.5 座標変換と接ベクトル・余接ベクトルの成分の変換
  6.6 ベクトル場・微分形式・テンソル場\r
  6.7 外積代数
  6.8 外微分
  6.9 ド・ラムのコホモロジー群
  6.10 ポアンカレの補題と可積分条件
  6.11 微分形式の積分
  6.12 スト一クスの定理

第7章 物理への応用
  7.1 電磁気学
  7.2 拘束系の力学
  7.3 力学と保存則
  7.4 双対的世界観

参考文献
索引